题目内容
已知的前项和满足,其中
(Ⅰ)求证:首项为1的等比数列;
(Ⅱ)若,求证:,并给指出等号成立的充要条件。
(Ⅰ)求证:首项为1的等比数列;
(Ⅱ)若,求证:,并给指出等号成立的充要条件。
见解析
(Ⅰ)由,即,
因,故,得
又由题设条件知,
两式相减得 ,即 由 ,知 ,
因此综上对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列。
(Ⅱ)当时,显然 ,等号成立
设 且,由(Ⅰ)知 ,所以要证的不等式化为
即证:,当 时,上面不等式的等号成立
当 时, 与 同为负;当 时
与 同为正,因此当 且 时,
总有,即
上面不等式对从1到 求各得
由此得
综上,当 且 时,有,当且仅当 或时等号成立。
【考点定位】本题考查了数列前n项和的概念,不等式恒成立问题,数学归纳法的应用,合理猜想与逻辑推理的概念.对不等式的考查有一定的难度,综合性较强,需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答,对数学归纳法的考查较深
因,故,得
又由题设条件知,
两式相减得 ,即 由 ,知 ,
因此综上对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列。
(Ⅱ)当时,显然 ,等号成立
设 且,由(Ⅰ)知 ,所以要证的不等式化为
即证:,当 时,上面不等式的等号成立
当 时, 与 同为负;当 时
与 同为正,因此当 且 时,
总有,即
上面不等式对从1到 求各得
由此得
综上,当 且 时,有,当且仅当 或时等号成立。
【考点定位】本题考查了数列前n项和的概念,不等式恒成立问题,数学归纳法的应用,合理猜想与逻辑推理的概念.对不等式的考查有一定的难度,综合性较强,需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答,对数学归纳法的考查较深
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