题目内容
【题目】已知函数
(Ⅰ)讨论函数在上的单调性;
(Ⅱ)证明:恒成立.
【答案】(1),当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.(2)见解析
【解析】
(1)求出(),通过当时,当时,判断导函数的符号,推出函数的单调区间即可.
证法二:记函数,通过导数研究函数的性质,,问题得证.
(Ⅰ) (),
当时,恒成立,所以,在上单调递增;
当时,令,得到,所以,当时,,单调递增,当时,,单调递减.
综上所述,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在上单调递减.
(Ⅱ)证法一:由(Ⅰ)可知,当时,,
特别地,取,有,即,所以(当且仅当时等号成立),
因此,要证恒成立,只要证明在上恒成立即可,
设(),则,
当时,,单调递减,当时,,单调递增.
所以,当时,,即在上恒成立.
因此,有,又因为两个等号不能同时成立,所以有恒成立.
证法二:记函数,
则,可知在上单调递增,又由知, 在上有唯一实根,且,则,即(*),
当时, 单调递减;当时, 单调递增,
所以,结合(*)式,知,
所以,
则,即,所以有恒成立.
【题目】《中华人民共和国民法总则》(以下简称《民法总则》)自2017年10月1日起施行。作为民法典的开篇之作,《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况,随机抽取50人,他们的年龄都在区间[25,85]上,年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表:
年龄 | [25,35) | [35,45) | [45,55) | [55,65) | [65,75) | [75,85) |
频数 | 5 | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 |
了解《民法总则》 | 1 | 2 | 8 | 12 | 4 | 5 |
(Ⅰ)填写下面2×2 列联表,并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异;
(Ⅱ)若对年龄在[45,55),[65,75)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研,记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
【题目】某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:
每件A产品 | 每件B产品 | |
研制成本、搭载试验 费用之和(万元) | 20 | 30 |
产品重量(千克) | 10 | 5 |
预计收益(万元) | 80 | 60 |
已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,求最大预计收益是多少.