题目内容

【题目】已知函数

Ⅰ)讨论函数上的单调性;

Ⅱ)证明:恒成立.

【答案】(1),当时,上单调递增;当时,上单调递增,在上单调递减.(2)见解析

【解析】

(1)求出),通过当时,当时,判断导函数的符号,推出函数的单调区间即可.

证法二:记函数,通过导数研究函数的性质,,问题得证.

),

时,恒成立,所以,上单调递增;

时,令,得到,所以,当时,单调递增,当时,单调递减.

综上所述,当时,上单调递增;当时,上单调递增,在上单调递减.

Ⅱ)证法一:由(Ⅰ)可知,当时,

特别地,取,有,即,所以(当且仅当时等号成立),

因此,要证恒成立,只要证明上恒成立即可,

),则

时,单调递减,当时,单调递增.

所以,当时,,即上恒成立.

因此,有,又因为两个等号不能同时成立,所以有恒成立.

证法二:记函数

,可知上单调递增,又由知, 上有唯一实根,且,则,即(*),

时, 单调递减;当时, 单调递增,

所以,结合(*)式,知

所以

,即,所以有恒成立.

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