题目内容
【题目】如图,已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切,与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)过直线上的点作圆的两条切线,设切点分别是,,若直线与轨迹交于,两点,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
根据已知条件动圆与圆内切,与圆外切,即可得到其轨迹为椭圆,从而求出结果
设的坐标是,切点坐标分别是,,求出切线方程,继而得到经过两点的直线的方程是,讨论当时和当时的取值范围
(1)设动圆的半径为,∵动圆与圆内切,与圆外切,
∴,且.
于是,,所以动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.从而,,所以.
故动圆圆心的轨迹的方程为.
(2)设直线上任意一点的坐标是,切点坐标分别是,;则经过点的切线斜率,方程是,经过点的切线方程是,又两条切线,相交于 .
则有,所以经过两点的直线的方程是,
①当时,有,,,,则,,
所以;
②当时,联立,整理得;
设坐标分别为,,则,
所以,故,
所以.令,则,则,
又令,则,,令,
令,解可得,故在上单调递增,且有,而,所以;
综合①,②可得,所以的取值范围为.
练习册系列答案
相关题目
【题目】经销商第一年购买某工厂商品的单价为(单位:元),在下一年购买时,购买单价与其上年度销售额(单位:万元)相联系,销售额越多,得到的优惠力度越大,具体情况如下表:
上一年度 销售额/万元 | ||||||
商品单价/元 |
为了研究该商品购买单价的情况,为此调查并整理了个经销商一年的销售额,得到下面的柱状图.
已知某经销商下一年购买该商品的单价为(单位:元),且以经销商在各段销售额的频率作为概率.
(1)求的平均估计值.
(2)为了鼓励经销商提高销售额,计划确定一个合理的年度销售额(单位:万元),年销售额超过的可以获得红包奖励,该工厂希望使的经销商获得红包,估计的值,并说明理由.