Question

2．已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，且PA⊥平面ABCD，M为四边形ABCD所在平面内一点，E为PC的中点，PB=2，则（1）PC⊥BD；（2）直线BE∥平面PAD；（3）点M到直线PA与BC的距离相等，则点M的轨迹方程为抛物线；（4）V_P-ABCD的最大值为$\frac{16\sqrt{3}}{27}$，以上结论正确的是（1）（3）（4）．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直，可得结论；（2）利用线面平行可得结论；
（3）利用抛物线的定义，可得结论；
（4）利用导数知识，即可求解．

解答 解：（1）∵四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC，∴PC⊥BD，正确；
（2）由于AB=CD，E为PC的中点，∴直线BE∥平面PAD，不成立，不正确；
（3）点M到直线PA与BC的距离相等，则点M到A的距离与BC的距离相等，∴点M的轨迹方程为抛物线，正确；
（4）当底面为正方形，设PA=a，AB=b，则a²+b²=4，
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$a²b=$\frac{1}{3}$（4-b²）b，∴V′=$\frac{1}{3}$（4-3b²）=0，∴b=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，V的最大值为$\frac{1}{3}$×$\frac{8}{3}$×$\frac{2}{3}\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{27}$，正确．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评 本题考查命题的真假判断，考查线面垂直、平行，考查抛物线的定义，考查体积的计算，知识综合性强．