Question

7．已知向量$\overrightarrow{m}$=（cos2x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$），$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$），设函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x取值的集合；
（Ⅱ）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=$\frac{3}{5}$，f（C）=-$\frac{1}{4}$，求sinA的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量和三角函数公式可得f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，易得最值和x集合；
（Ⅱ）由题意和同角三角函数基本关系可得sinB，再由前面所求可得C=$\frac{π}{3}$，代入sinA=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB，计算可得．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos2x，$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$），$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}sinx-\frac{1}{2}cosx$），
∴函数f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=cos2x+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx-$\frac{1}{2}cosx$）²
=cos2x+$\frac{3}{4}$sin²x+$\frac{1}{4}$cos²x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx
=$\frac{3}{4}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$
故当cos（2x+$\frac{π}{6}$）=1时，函数f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
此时2x+$\frac{π}{6}$=2kπ，解得x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故x取值的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{12}$，k∈Z}；
（Ⅱ）∵A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，且cosB=$\frac{3}{5}$，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，又f（C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos（2C+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{4}$，
∴cos（2C+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴2C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得C=$\frac{π}{3}$，
∴sinA=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×\frac{4}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

点评 本题考查解三角形，涉及三角函数的化简和同角三角函数基本关系以及向量的知识，属中档题．