题目内容
【题目】已知抛物线:
,焦点为
,其准线与
轴交于点
.椭圆
:分别以
、
为左、右焦点,其离心率
,且抛物线
和椭圆
的一个交点记为
.
(1)当时,求椭圆
的标准方程;
(2)在(1)的条件下,若直线经过椭圆
的右焦点
,且与抛物线
相交于
,
两点,若弦长
等于
的周长,求直线
的方程.
【答案】(1)=1
(2)
【解析】
(1)当时,F
(1,0),F
(-1,0) 设椭圆
的标准方程为
(
>
>0),
∴=1,
=
∵
,∴
=2,
=
故椭圆的标准方程为
=1.
(2) (ⅰ)若直线的斜率不存在,则
:
=1,且A(1,2),B(1,-2),∴
=4
又∵的周长等于
=2
+2
=6
∴直线的斜率必存在.
ⅱ)设直线的斜率为
,则
:
由
,得
∵直线与抛物线
有两个交点A,B,
∴,且
设
则可得,
.
于是=
=
=
=
=.
∵的周长等于
=2
+2
=6.
∴由=6,解得
=
.
故所求直线的方程为
.
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