题目内容
【题目】如图,三棱柱中,底面
为等边三角形,E,F分别为
,
的中点,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)通过计算可得,通过证明
平面
,可得
,再根据直线与平面垂直的判定定理可得
平面
;
(2)先说明直线,
,
两两垂直,再以
,
,
的方向为x,y,z轴的正方向,以点E为原点,建立空间直角坐标系,然后利用空间向量可求得结果.
(1)证明:设,∵
,
则,
,
,
∵点E为棱的中点,∴
,
∴,∴
.
∵三棱柱的侧面
为平行四边形,
∴四边形为矩形,
∵点F为棱的中点,
∴,
,
∴,∴
.
∵三棱柱的底面是正三角形,E为
的中点,
∴.
∵,且
平面
,
平面
,且
,
相交,
∴平面
,∵
平面
,∴
,∵
,
∴平面
.
(2)由(1)可知平面
,∴
,∴
平面
,
∴三棱柱是正三棱柱,
设的中点为M,则直线
,
,
两两垂直,
分别以,
,
的方向为x,y,z轴的正方向,以点E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,
,
,
,
则,
,
.
设平面的一个法向量为
,则
,则
,则
,
不妨取,则
,则
,所以
,
设直线与平面
所成角为
,
则,
因为,所以
则直线与平面
所成角的大小为
.
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练习册系列答案
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【题目】某高校在年的自主招生考试成绩中随机抽取
名学生的笔试成绩,按成绩共分五组,得到如下的频率分布表:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第一组 | |||
第二组 | |||
第三组 | |||
第四组 | |||
第五组 |
(1)请写出频率分布表中、
、
的值,若同组中的每个数据用该组区间的中间值代替,请估计全体考生的平均成绩;
(2)为了能选出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第、
、
组中用分层抽样的方法抽取
名考生进入第二轮面试,求第
、
、
组中每组各抽取多少名考生进入第二轮的面试;
(3)在(2)的前提下,学校要求每个学生需从、
两个问题中任选一题作为面试题目,求第三组和第五组中恰好有
个学生选到问题
的概率.