题目内容
【题目】设函数,
,其中
,
是自然对数的底数.
(1)若在
上存在两个极值点,求
的取值范围;
(2)若,
,函数
与函数
的图象交于
,
,且
线段的中点为
,证明:
.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
(1)求导,令,得出
,构造函数,利用导数求出
的取值范围,从而得解;
(2)根据题意,求出,然后利用分析法进行证明即可.
(1)的定义域为
,
,
则在
上存在两个极值点等价于
在
上有两个不等实根,
由,解得
,
令,则
,
令,则
,
当时,
,故函数
在
上单调递减,且
,
所以,当时,
,
,
单调递增,
当时,
,
,
单调递减,
所以,是
的极大值也是最大值,
所以,所以
,
又当时,
,当
时,
大于0且趋向于0,
要使在
有两个根,则
;
(2)证明:,
由,得
,则
,
要证成立,
只需证,即
,
即,
设,即证
,
要证,只需证
,
令,则
,
所以在
上为增函数,所以
,即
成立;
要证,只需证
,
令,则
,
所以在
上为减函数,
所以,即
成立;
所以成立,即
成立.
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