题目内容

12.若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是3.

分析 根据所给x,y的范围,可得|6-x-3y|=6-x-3y,再讨论直线2x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两部分,分别去绝对值,运用线性规划的知识,平移即可得到最小值.

解答 解:由x2+y2≤1,可得6-x-3y>0,即|6-x-3y|=6-x-3y,
如图直线2x+y-2=0将圆x2+y2=1分成两部分,
在直线的上方(含直线),即有2x+y-2≥0,即|2x+y-2|=2x+y-2,
此时|2x+y-2|+|6-x-3y|=(2x+y-2)+(6-x-3y)=x-2y+4,
利用线性规划可得在A($\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$)处取得最小值3;
在直线的下方(含直线),即有2x+y-2≤0,
即|2x+y-2|=-(2x+y-2),
此时|2x+y-2|+|6-x-3y|=-(2x+y-2)+(6-x-3y)=8-3x-4y,
利用线性规划可得在A($\frac{3}{5}$,$\frac{4}{5}$)处取得最小值3.
综上可得,当x=$\frac{3}{5}$,y=$\frac{4}{5}$时,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.
故答案为:3.

点评 本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法,属于中档题.

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