题目内容
（12分）如图，四棱锥
中，底面
为平行四边形，
，
，
⊥底面.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角
的正弦值.
中，底面为平行四边形，，，⊥底面.(1)证明：平面
平面； (2)若
，求与平面所成角的正弦值. （1）见解析； (2)
。
。本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．
（I）由AB2=AD2+BD2，知AD⊥BD，由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，由PD∩BD=D，知AD⊥平面PBD．由此能够证明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则求出平面PBC的法向量
由此能求出AP与平面PBC所成角的正弦值
（1）
，
AD
⊥底面 PD
AD
面PBD, 又 AD//BC
BC面PBD , 又 BC
平面
平面平面…… 6分
(2)如图，分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系
则
，
，
，
，
，
，
设平面的法向量为
由
可得
，
…10分………12
（I）由AB2=AD2+BD2，知AD⊥BD，由PD⊥底面ABCD，知PD⊥AD，由PD∩BD=D，知AD⊥平面PBD．由此能够证明平面PBC⊥平面PBD．
（Ⅱ）分别以DA、DP、DB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则求出平面PBC的法向量
由此能求出AP与平面PBC所成角的正弦值
（1）
， AD ⊥底面 PDAD面PBD, 又 AD//BCBC面PBD , 又 BC平面平面平面…… 6分(2)如图，分别以
、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系则
，，， ，，，设平面
的法向量为 由 可得 ，…10分………12
练习册系列答案
相关题目
中，已知点
、
、
分别为棱
、
、
的中点．
∥平面
；
，
，求证：平面
⊥平面
的底面
是菱形，
，其侧面展开图是边长为
的正方形.
、
分别是侧棱
、
上的动点，
．
；
在棱
，若
∥平面
，求
.
中，底面
是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，
与
的交点为
，
为侧棱
上一点．
中，面对角线
与体对角线
所成角等于
，PD=CD=2.