题目内容
【题目】已知圆.
(1)若圆的切线在
轴、
轴上的截距相等,求切线方程;
(2)从圆外一点
向该圆引一条切线,切点为
,且有
(
为坐标原点),求使
取得最小值时点
的坐标.
【答案】(1)或
或
或
;(2)
.
【解析】
(1)分两种情况讨论:①直线过原点,设所求切线方程为;②直线在
轴、
轴上的截距均为
,设所求切线方程为
.利用圆心到直线的距离等于半径列等式,求出相应的参数,即可得出所求切线的方程;
(2)先由求得点
的轨迹方程为
,由此可得出当
与直线
垂直时,
最短,求出直线
的方程,求出该直线与直线
的交点,即为所求的点
.
(1)①设圆的切线在
轴、
轴上的截距均为
,则切线过原点,设所求切线方程为
,即
.
则圆心到切线的距离为,解得:
或
.
此时,所求切线的方程为或
;
②若截距均不为,设所求切线方程为
,
则圆心到切线的距离为,解得
,
此时,所求切线方程为或
.
综上所述,所求切线方程为或
或
或
;
(2)由题意可知,,则
,
由得
,化简得
.
所以,点的轨迹方程为
,
要使最小,即
最小,过
作直线
的垂线,垂线方程为
,
联立,解得
,因此,所求的点
的坐标为
.
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