题目内容
【题目】如图,圆与
轴交于
、
两点,动直线
(
)与
轴、
轴分别交于点
、
,与圆交于
、
两点(点
纵坐标大于点
纵坐标).
(1)若,点
与点
重合,求点
的坐标;
(2)若,
,求直线
将圆分成的劣弧与优弧之比;
(3)若,设直线
、
的斜率分别为
、
,是否存在实数
使得
?若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在,
【解析】
由题意得到,
,
(1)由得
,根据点
与点
重合,得到
在直线
上,求出
,联立直线与圆的方程,根据韦达定理,即可求出结果;
(2)取中点为
,连结
,由题意得到
,推出
,从而求出直线
,再求出
,进而可求出结果;
(2)设、
,联立直线与圆的方程,得到
,再由题意得
,推出
,求出
或
,根据
得到
,进而可求出结果.
因为圆与
轴交于
、
两点,所以
,
,
(1)由得
,又点
与点
重合,直线
与圆
交于
、
两点,
所以在直线
上,
因此,所以
,
由得
,所以
,因此
,
所以,即
;
(2)取中点为
,连结
,因为
,所以
为
中点,
所以,因此
,
所以直线的斜率为
,由
得:
,
由点到直线距离公式可得:,又
,
所以,故
,所以
,
因此劣弧的长度为:
,
又圆的周长为:,
所以直线将圆分成的劣弧与优弧之比为
.
(3)设、
,因为
,所以
,代入圆
可得:
,整理得:
,
所以,
又、
,所以
,
又,
,
所以,
即,即
,
整理得:,解得
或
,
又,
,所以
,
即,即
,
所以,解得
,所以
.
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