Question

如图，有一块矩形草地，要在这块草地上开辟一个内接四边形建体育设施（图中阴影部分），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，阴影部分面积为y．
（1）求y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）当x为何值时，阴影部分面积最大？最大值是多少？

Answer 1

（1）S_△AEH=S_△CFG=

1

2

x²，（1分）
S_△BEF=S_△DGH=

1

2

（a-x）（2-x）．（2分）
∴y=S_ABCD-2S_△AEH-2S_△BEF=2a-x²-（a-x）（2-x）=-2x²+（a+2）x．（5分）
由

x＞0 a-x＞0 2-x≥0 a＞2

，得0＜x≤2（6分）
∴y=-2x²+（a+2）x，函数的定义域为{x|0＜x≤2}（8分）
（2）对称轴为x=

a+2

4

，又因为a＞2，所以

a+2

4

＞1
当1＜

a+2

4

＜2，即2＜a＜6时，则x=

a+2

4

时，y取最大值

(a+2)2

8

．（9分）
当

a+2

4

≥2，即a≥6时，y=-2x²+（a+2）x，在（0，2]上是增函数，
则x=2时，y取最大值2a-4（11分）
综上所述：当2＜a＜6时，AE=

a+2

4

时，阴影部分面积最大值是

(a+2)2

8

；
当a≥6时，x=2时，阴影部分面积取最大值2a-4（12分）