Question

【题目】已知是椭圆的左右顶点，点为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，且.

（1）若椭圆经过圆的圆心，求椭圆的方程；

（2）在（1）的条件下，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）设，由在椭圆上求出，再由椭圆过点得，从而可得，得椭圆方程；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，，直线方程与椭圆方程联立，并消元后应用韦达定理得，同时注意，由弦长公式表示出后可得的取值范围，由向量线性运算求出点坐标，交代入椭圆方程得出的关系，从而得的范围．

（1）设，因为，则点关于轴的对称点.

，，又由椭圆的方程得，

所以，

又椭圆过圆的圆心，

所以，，所以椭圆的标准方程为；

（2）由题意可知直线的斜率存在，设，，，

由得：由，得：

，.

，

，，结合（*）得：.

，.

从而，.

∵点在椭圆上，，

整理得：即，，

或.