题目内容
【题目】如图所示,将方格纸中每个小方格染三种颜色之一,使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同,称他们的公共边为“分割边”,则分割边条数的最小值为( )
A.33B.56C.64D.78
【答案】B
【解析】
记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,将方格的行从上至下依次记为
,列从左至右依次记为
,行
中方格出现的颜色数记为
,列
中方格出现的颜色个数记为
,三种颜色分别记为
,对于一种颜色
,设
为含有
色方格的行数与列数之和,定义当
行含有
色方格时,
,否则
,类似的定义
,计算得到
,再证明
,再证明对任意
均有
,最后求出分隔边条数的最小值.
记分隔边的条数为,首先将方格按照按图分三个区域,分别染成三种颜色,粗线上均为分隔边,
此时共有56条分隔边,即,
其次证明:,
将将方格的行从上至下依次记为,列从左至右依次记为
,行
中方格出现的颜色数记为
,列
中方格出现的颜色个数记为
,三种颜色分别记为
,对于一种颜色
,设
为含有
色方格的行数与列数之和,定义当
行含有
色方格时,
,否则
,类似的定义
,
所以,
由于染色的格有
个,设含有
色方格的行有
个,列有
个,则
色的方格一定再这个
行和
列的交叉方格中,
从而,
所以①,
由于在行中有
种颜色的方格,于是至少有
条分隔边,
类似的,在列中有
种颜色的方格,于是至少有
条分隔边,
则②
③
下面分两种情形讨论,
(1)有一行或一列所有方格同色,
不妨设有一行均为色,则方格的33列均含有
的方格,又
色的方格有363个,故至少有11行有
色方格,于是
④
由①③④得
,
(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,
则对任意均有
,
从而,由式②知:
,
综上,分隔边条数的最小值为56.
故选:B.
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