Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；

（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；

（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）直线的极坐标方程： ；曲线的普通方程为：（2）

【解析】

（1）利用化直线的直角方程为极坐标方程，先消参数得曲线的普通方程，再根据变换得结果，（2）将直角方程化为极坐标方程，再代入，解得，，即得结果.

（1）将代人直线的方程，得：，化简得直线的极坐标方程：

由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为：，

经过伸缩变换得代入

得：，

即，

故曲线的普通方程为：

（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程：，

将代人得，

将代入得：，

故.