Question

【题目】已知函数y=f（x）满足f（x﹣1）=2x+3a，且f（a）=7．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=xf（x）+λf（x）+x在[0，2]上最大值为2，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x﹣1）=2x+3a=2（x﹣1）+3a+2，

则f（x）=2x+3a+2，

∵f（a）=7，

∴2a+3a+2=7，

解得a=1，

∴f（x）=2x+5

（2）解：g（x）=xf（x）+λf（x）+x=x（2x+5）+2λx+5λ=2x2+（6+2λ）x+5λ，

则其对称轴为x=﹣ ，

当﹣ ≤0时，即λ≥﹣3时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，故g（x）max=g（2）=9λ+20，

当﹣ ≥2时，即λ≤﹣7时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，故g（x）max=g（0）=5λ，

当0＜﹣ ≤1时，即﹣5≤λ＜﹣3时，g（x）max=g（2）=9λ+20，

当1＜﹣ ＜2时，即﹣7＜λ＜﹣5时，g（x）max=g（0）=5λ，

故，当λ≥﹣5时，g（x）max=g（2）=9λ+20=2，解得λ=﹣2，

当λ＜﹣5时，g（x）max=g（0）=5λ=2，解的λ= ，舍去

综上所述λ的值为﹣2

【解析】（1）根据配凑法即可求出函数的解析式，（2）化简g（x），根据二次函数的性质，分类讨论即可求出λ的值，
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．