Question

如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)证明：平面PAB⊥平面PCM；
(2)证明：线段PC的中点为球O的球心

Answer 1

 (1)证明：∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AM.∵PA⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PA⊥CM.
∵AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴CM⊥平面PAB.
∵CM?平面PCM，
∴平面PAB⊥平面PCM.
(2)证明：由(1)知CM⊥平面PAB.
∵PM?平面PAB，
∴CM⊥PM.
∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴PA⊥AC.如图，，取PC的中点N，连结MN、AN.在Rt△PAC中，点N为斜边PC的中点，
∴AN＝PN＝NC.在Rt△PCM中，点N为斜边PC的中点，
∴MN＝PN＝NC.
∴PN＝NC＝AN＝MN.
∴点N是球O的球心，即线段PC的中点为球O的球心．

略