题目内容
【题目】已知数列的前
项和
,数列
的前
项和
,
,则正整数
的最大值为_________.
【答案】3
【解析】
运用数列的递推式,结合等比数列的定义、通项公式可得an,Sn,再由数列的分组求和,结合等比数列的求和公式,以及数列的单调性,解不等式可得所求最大值.
Sn=2﹣1,可得
=S1=2
﹣1,解得
=1;
n≥2时,=Sn﹣Sn﹣1=2
﹣1﹣2
+1,
则=2
,可得
为首项为1,公比为2的等比数列,
可得=2n﹣1,Sn=2n﹣1,
Sn1=2n﹣1+(
)n﹣1+1=2n+(
)n﹣1,
Tn=(2+4+…+2n)+(1(
)n﹣1)
2n+1﹣(
)n﹣1,
可得Tn是一个增函数(增函数+增函数=增函数),随着n的增大而增大,T3,
由,可得n≤3,即n的最大值为3.
故答案为:3.
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