题目内容

15.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0)的一条对称轴是$x=\frac{π}{8}$.
(1)求φ;
(2)用五点法画出f(x)在$x∈[\frac{π}{8},\frac{7π}{8}]$的图象;并确定m的取值范围,是方程f(x)=m,x∈[$\frac{π}{8}$,$\frac{7π}{8}$]有两个不同的解.

分析 (1)利用正弦函数的对称性可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z),又-π<φ<0,于是可求得答案.
(2)依题意,$x∈[\frac{π}{8},\frac{7π}{8}]$⇒-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{3π}{4}$≤π,通过列表,利用五点作图法画出函数y=sin(2x$-\frac{3π}{4}$),$x∈[\frac{π}{8},\frac{7π}{8}]$的图象,从而可求得方程f(x)=m,x∈[$\frac{π}{8}$,$\frac{7π}{8}$]两个不同的解.

解答 解:(1)∵函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴是x=$\frac{π}{8}$,
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z.
∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$,k∈Z.
又-π<φ<0,
∴$φ=-\frac{3π}{4}$,
(2)∵$x∈[\frac{π}{8},\frac{7π}{8}]$],
∴-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{3π}{4}$≤π,
列表如下:

x-$\frac{π}{8}$$\frac{π}{8}$$\frac{3π}{8}$  $\frac{5π}{8}$$\frac{7π}{8}$ 
2x$-\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{2}$0$\frac{π}{2}$π
y=2sin(2x$-\frac{3π}{4}$)0-1010
作图如下:

∵方程f(x)=m,x∈[$\frac{π}{8}$,$\frac{7π}{8}$]有两个不同的解.
∴由图象可得:0≤m<1.

点评 本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质,着重考查正弦函数的对称性,得到2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$(k∈Z)是关键,属于中档题.本题考查五点作图法,考查正弦函数的图象与性质,作出函数y=sin(2x$-\frac{3π}{4}$)的图象是关键,属于中档题.

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