Question

15．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（-π＜φ＜0）的一条对称轴是$x=\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）用五点法画出f（x）在$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$的图象；并确定m的取值范围，是方程f（x）=m，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]有两个不同的解．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函数的对称性可得2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），又-π＜φ＜0，于是可求得答案．
（2）依题意，$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$⇒-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{3π}{4}$≤π，通过列表，利用五点作图法画出函数y=sin（2x$-\frac{3π}{4}$），$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$的图象，从而可求得方程f（x）=m，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]两个不同的解．

解答 解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴是x=$\frac{π}{8}$，
∴2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴φ=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．
又-π＜φ＜0，
∴$φ=-\frac{3π}{4}$，
（2）∵$x∈[\frac{π}{8}，\frac{7π}{8}]$]，
∴-$\frac{π}{2}$≤2x$-\frac{3π}{4}$≤π，
列表如下：

x	-$\frac{π}{8}$	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$
2x$-\frac{3π}{4}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π
y=2sin（2x$-\frac{3π}{4}$）	0	-1	0	1	0

作图如下：

∵方程f（x）=m，x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{7π}{8}$]有两个不同的解．
∴由图象可得：0≤m＜1．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，着重考查正弦函数的对称性，得到2×$\frac{π}{8}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）是关键，属于中档题．本题考查五点作图法，考查正弦函数的图象与性质，作出函数y=sin（2x$-\frac{3π}{4}$）的图象是关键，属于中档题．