题目内容
4．数列{xn}满足：x1=$\frac{1}{3}$，xn+1=xn2+xn，则下述和数$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$的整数部分的值为（ ）| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 3 |
分析 由x1=$\frac{1}{3}$，xn+1=xn2+xn，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=xn+1＞1，因此数列{xn}单调递增，可得当n≥4时，xn＞1．另一方面由xn+1=xn2+xn，可得$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{1+{x}_{n}}$．利用“裂项求和”可得和数$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$=3-$\frac{1}{{x}_{2016}}$=2+$（1-\frac{1}{{x}_{2016}}）$，即可得出整数部分的值．
解答 解：由x1=$\frac{1}{3}$，xn+1=xn2+xn，可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=xn+1＞1，
∴数列{xn}单调递增，可得x2=$\frac{4}{9}$，x3=$\frac{52}{81}$，x4=$\frac{52}{81}×（\frac{52}{81}+1）$＞1，
∴当n≥4时，xn＞1．
∴$0＜1-\frac{1}{{x}_{2016}}$＜1．
∵xn+1=xn2+xn，∴$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{1+{x}_{n}}$．
∴和数$\frac{1}{1+{x}_{1}}$+$\frac{1}{1+{x}_{2}}$+$\frac{1}{1+{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{x}_{2015}}$=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2015}}-\frac{1}{{x}_{2016}}）$=3-$\frac{1}{{x}_{2016}}$=2+$（1-\frac{1}{{x}_{2016}}）$的整数部分的值为2．
故选：C．
点评 本题考查了数列的单调性、“裂项求和”，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．
黄冈小状元同步计算天天练系列答案
| A． | （-1，0）∪（0，1） | B． | （-1，0）∪（1，+∞） | C． | （-∞，-1）∪（1，+∞） | D． | （-∞，-1）∪（0，1） |
| A． | ${∫}_{a}^{b}$0dx=b-a | B． | ${∫}_{a}^{b}$xdx=$\frac{1}{2}$ | ||
| C． | ${∫}_{-1}^{1}$|x|dx=2${∫}_{0}^{1}$|x|dx | D． | ${∫}_{a}^{b}$（x+1）dx=${∫}_{a}^{b}$xdx |