Question

【题目】已知无穷等比数列的首项、公比均为.

（1）试求无穷等比子数列各项的和；

（2）是否存在数列的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）由题意结合等比数列的通项公式可得，再利用无穷等比数列的各项和公式即可得解；

（2）设此子数列的首项为，公比为q，由题意结合无穷等比数列的各项和公式可得，求得后，根据等比数列的通项公式即可得解.

（1）由已知条件得，

，

数列是首项，公比为的等比数列，

则无穷等比子数列各项的和为；

（2）设此子数列的首项为，公比为q，由已知条件，得，

，

由此子数列的各项的和可得，

而，则，

所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为，

其通项公式为.