题目内容
已知函数为奇函数.
(1)若,求函数的解析式;
(2)当时,不等式在上恒成立,求实数的最小值;
(3)当时,求证:函数在上至多有一个零点.
(1)若,求函数的解析式;
(2)当时,不等式在上恒成立,求实数的最小值;
(3)当时,求证:函数在上至多有一个零点.
(1);(2) (3)见解析
试题分析:(1)由函数为奇函数,得恒成立,可求的值;
由,从而可得函数的解析式;
(2)当时,可判断其在区间上为单调函数,最大值为,要使不等式在上恒成立,只要不小于函数在区间区间上的最大值即可;
(3)当时,,要证在上至多有一个零点,
只要证在上是单调函数即可,对此可用函数单调性的定义来解决.
试题解析:解:(1)∵函数为奇函数,
∴,即,
∴, 2分
又,
∴
∴函数的解析式为. 4分
(2),.
∵函数在均单调递增,
∴函数在单调递增, 6分
∴当时,. 7分
∵不等式在上恒成立,
∴,
∴实数的最小值为. 9分
(3)证明:,
设,
11分
∵,
∴
∵,即,
∴,又,
∴,即
∴函数在单调递减, 13分
又,结合函数图像知函数在上至多有一个零点. 14分
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