题目内容

已知函数为奇函数.
(1)若,求函数的解析式;
(2)当时,不等式上恒成立,求实数的最小值;
(3)当时,求证:函数上至多有一个零点.
(1);(2) (3)见解析

试题分析:(1)由函数为奇函数,得恒成立,可求的值;
,从而可得函数的解析式;
(2)当时,可判断其在区间上为单调函数,最大值为,要使不等式上恒成立,只要不小于函数在区间区间上的最大值即可;
(3)当时,,要证上至多有一个零点,
只要证上是单调函数即可,对此可用函数单调性的定义来解决.
试题解析:解:(1)∵函数为奇函数,
,即
,                             2分


∴函数的解析式为.                4分
(2).
∵函数均单调递增,
∴函数单调递增,                      6分
∴当时,.                  7分
∵不等式上恒成立,

∴实数的最小值为.                        9分
(3)证明:


          11分


,即
,又
,即
∴函数单调递减,                    13分
,结合函数图像知函数上至多有一个零点.     14分
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