题目内容
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,sinC+sin(A﹣B)=3sin2B.若 ,则
=( )
A.
B.3
C. 或3
D.3或
【答案】C
【解析】解:∵A+B=π﹣C,∴sinC=sin(π﹣C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,
又∵sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB,
∴sinC+sin(A﹣B)=3sin2B,即(sinAcosB+cosAsinB)+(sinAcosB﹣cosAsinB)=6sinBcosB,
化简得2sinAcosB=6sinBcosB,即cosB(sinA﹣3sinB)=0
解之得cosB=0或sinA=3sinB.
① 若cosB=0,结合B为三角形的内角,可得B= ,
∵ ,∴A=
=
,
因此sinA=sin =
,由三角函数的定义得sinA=
=
;
②若sinA=3sinB,由正弦定理得a=3b,所以 =3.
综上所述, 的值为
或3.
故选:C
【考点精析】通过灵活运用两角和与差的正弦公式和二倍角的正弦公式,掌握两角和与差的正弦公式:;二倍角的正弦公式:
即可以解答此题.
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