题目内容
15．已知数列{an}满足a1=1，an+1•an=2n，则S2015等于（ ）| A． | 22015-1 | B． | 21008-3 | C． | 21009-3 | D． | 21009-2 |
分析 通过an+1•an=2n，作商可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，进而可知数列{an}中奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论．
解答 解：∵an+1•an=2n，
∴$\frac{{a}_{n+2}•{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
又∵a1=1，
∴a2=$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{an}中奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，
偶数项构成首项、公比均为2的等比数列，
又∵前2015项中共有奇数项1008项、偶数项1007项，
∴S2015=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1007}）}{1-2}$
=21008-1+21008-2
=21009-3，
故选：C．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，找出奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
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