题目内容
【题目】已知D(x0 , y0)为圆O:x2+y2=12上一点,E(x0 , 0),动点P满足 = + ,设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若动直线l:y=kx+m与曲线C相切,过点A1(﹣2,0),A2(2,0)分别作A1M⊥l于M,A2N⊥l于N,垂足分别是M,N,问四边形A1MNA2的面积是否存在最值?若存在,请求出最值及此时k的值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)
解:由题意设P(x,y),则 = + (x0,0)= .
∴ ,y= ,解得x0= x,y0=2y,
又 + =12,代入可得:3x2+4y2=12,化为: =1.
(2)
联立 ,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)=48(3+4k2﹣m2)=0,
可得:m2=3+4k2.A1(﹣2,0)到l的距离d1= ,
A2(2,0)到l的距离d2= ,
则|MN|2= ﹣ =16﹣[ + ﹣ ]
=16﹣ =16﹣ =16﹣ = .
= + + = = .
∴四边形A1MNA2的面积S= = =4 =4 ≤4 .
当k=0时,取等号.
【解析】(1)由题意设P(x,y),则 = + (x0 , 0)= .可得 ,y= ,解得x0= x,y0=2y,又 + =12,代入圆的方程即可得出.(2)联立 ,可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,△=0,可得:m2=3+4k2 . A1(﹣2,0)到l的距离d1= ,A2(2,0)到l的距离d2= ,可得|MN|2= ﹣ = . = .可得四边形A1MNA2的面积S= ,利用二次函数的单调性即可得出.