题目内容
【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣ y+6=0相切.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知点A,B为动直线y=k(x﹣2)(k≠0)与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在点E,使 2+ 为定值?若存在,试求出点E的坐标和定值,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:)由离心率为 ,得 = ,
即c= a,①
又以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,
且与直线 相切,
所以 ,代入①得c=2,
所以b2=a2﹣c2=2.
所以椭圆C的标准方程为 + =1.
(2)解:由 ,可得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,
△=144k4﹣4(1+3k2)(12k2﹣6)>0,即为6+6k2>0恒成立.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
所以x1+x2= ,x1x2= ,
根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),
使得 为定值,
则有 =(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2
=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣2)(x2﹣2)
=(k2+1)x1x2﹣(2k2+m)(x1+x2)+(4k2+m2)
=(k2+1) ﹣(2k2+m) +(4k2+m2)
= ,
要使上式为定值,即与k无关,则应3m2﹣12m+10=3(m2﹣6),
即 ,此时 = 为定值,定点E为 .
【解析】(1)求得圆O的方程,由直线和圆相切的条件:d=r,可得a的值,再由离心率公式,可得c的值,结合a,b,c的关系,可得b,由此能求出椭圆的方程;(2)由直线y=k(x﹣2)和椭圆方程,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出在x轴上存在点E,使 为定值,定点为( ,0).