Question

【题目】已知集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，以下命题正确的序号是 ．
①如果函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），其中ai∈M（i=1，2，3，…，7），那么f′（0）的最大值为127 ．
②数列{an}满足首项a1=2，ak+12﹣ak2=2，k∈N* ， 当n∈M且n最大时，数列{an}有2048个．
③数列{an}（n=1，2，3，…，8）满足a1=5，a8=7，|ak+1﹣ak|=2，k∈N* ， 如果数列{an}中的每一项都是集合M的元素，则符合这些条件的不同数列{an}一共有33个．
④已知直线amx+any+ak=0，其中am ， an ， ak∈M，而且am＜an＜ak ， 则一共可以得到不同的直线196条．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：对于①，令g（x）=（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣an），
则f′（x）=g（x）+xg′（x），
∵f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a7），
∴f′（0）=g（0）=（﹣a1）（﹣a2）…（﹣a7）＜（﹣1）7=﹣1．命题①错误；
对于②，n=12，令 ，则bk+1﹣bk=2，b1=4．
对于每一个ai（i＞1）都有两种取值，共211=2048个．命题②正确；
对于③，这个问题相当于走楼梯问题，一共六级楼梯，可以进一步也可以退一步，
现在在第三级，求走7步后到第四级楼梯的走法．
事实上，必定要向前走四步和向后走三步，共 种走法，但先走四步和先退三步这两种都是不行的．
∴共33种走法，即符合条件的不同数列{an}一共有33个．命题③正确；
对于④，考虑满足am＜an＜ak（am ， an ， ak）数组的数量，共 个．
而数组
（1，2，3），（2，4，6），
（3，6，9），（4，8，12），
（1，2，4），（2，4，8），
（3，6，12），（1，2，5），
（2，4，10），（1，2，6），
（2，4，12），（1，3，4），
（2，6，8），（3，9，12），
（1，3，5），（2，6，10），
（1，3，6），（2，6，12），
（1，4，5），（2，8，10），
（1，4，6），（2，8，12），
（1，5，6），（2，10，12），
（2，3，4），（4，6，8），
（6，9，12），（2，3，5），
（4，6，10），（2，3，6），
（4，6，12），（2，4，5），
（4，8，10），（2，4，6），
（4，8，12），（2，5，6），
（4，10，12），（3，4，5），
（6，8，10），（3，4，6），
（6，8，12），（3，5，6），
（6，10，12），（4，5，6），
（8，10，12）中共重复25个数组，
∴一共可以得到不同的直线195条．
命题④错误．
所以答案是：②③．
【考点精析】通过灵活运用命题的真假判断与应用，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系即可以解答此题．