题目内容
【题目】如图1，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，E为CD上一点，F为BE的中点，且DE=1，EC=2，现将梯形沿BE折叠（如图2），使平面BCE⊥ABED．
（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；
（2）能否在边AB上找到一点P（端点除外）使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为 
？若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）
证明：在直角梯形ABCD中，作DM⊥BC于M，连接AE，
则CM=2﹣1=1，CD=DE+CE=1+2=3，
则DM=AB=2 
，cosC= 
，则
BE= 
= 
，sin∠CDM= ，
则AE= 
= 
，
∴AE2+BE2=AB2，
故AE⊥BE，且折叠后AE与BE位置关系不变
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴AE⊥面BCE，
∵AE平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BCE
（2）
解：∵在△BCE中，BC=CE=2，F为BE的中点
∴CF⊥BE
又∵面BCE⊥面ABED，且面BCE∩面ABED=BE，
∴CF⊥面ABED，
故可以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
则A（ ，﹣ 
，0），C（0，0， ），E（0，﹣ ，0），
易求得面ACE的法向量为 
=（0，﹣ ，1）
假设在AB上存在一点P使平面ACE与平面PCF，
所成角的余弦值为 
，且 
，（λ∈R），
∵B（0， ，0），
∴ 
=（﹣ ， ，0），
故 
=（﹣ λ， λ，0），
又 
=（ ，﹣ ，﹣ ），
∴ 
=（ （1﹣λ）， （2λ﹣1），﹣ ），
又 
=（0，0， ），
设面PCF的法向量为 
=（x，y，z），
∴ 
令x=2λ﹣1得 =（2λ﹣1， （λ﹣1），0）
∴|cos＜ 
＞|= 
= ，
解得 
因此存在点P且P为线段AB中点时使得平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为 ．
【解析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面BCE；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可得到结论．
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．
