题目内容

【题目】数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N* . (Ⅰ)证明:数列{ }是等差数列;
(Ⅱ)设bn=3n ,求数列{bn}的前n项和Sn

【答案】证明(Ⅰ)∵nan+1=(n+1)an+n(n+1), ∴

∴数列{ }是以1为首项,以1为公差的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

bn=3n =n3n
3n1+n3n
3n+n3n+1
① ﹣②得 3n﹣n3n+1
=
=

【解析】(Ⅰ)将nan+1=(n+1)an+n(n+1)的两边同除以n(n+1)得 ,由等差数列的定义得证.(Ⅱ)由(Ⅰ)求出bn=3n =n3n , 利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.

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