题目内容
【题目】在数学上,常用符号来表示算式,如记=
,其中
,
.
(1)若,
,
,…,
成等差数列,且
,求证:
;
(2)若,
,记
,且不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由题意求出等差数列的通项公式,然后结合二项式系数的性质证明;(Ⅱ)在二项式展开式中分别取x=-1,x=1,求出bn,再借助于二项式系数的性质化简可得
,代入不等式
,分n为奇数和偶数求得t的取值范围
试题解析:(1)设等差数列的通项公式为,其中
为公差
则
因为,所以
所以=
.
注:第(1)问也可以用倒序相加法证明.(酌情给分)
(2)令,则
令,则
,所以
根据已知条件可知,
, 所以
将、
代入不等式
得,
当为偶数时,
,所以
;
当为奇数,
,所以
;
综上所述,所以实数的取值范围是
.
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