Question

（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆的右准线上的点，满足线段的中垂线过点．直线：为动直线，且直线与椭圆交于不同的两点、．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若在椭圆上存在点，满足（为坐标原点），
求实数的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值．

Answer 1

（Ⅰ）所求椭圆方程为。
（Ⅱ）实数的取值范围是．
（Ⅲ）当时，的面积最大，最大值为．

解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，半焦距为，依题意有
 解得　　　　．
所求椭圆方程为．       　　　 　 ……………………………3分
（Ⅱ）由，得．
设点、的坐标分别为、，则……4分
．
（1）当时，点、关于原点对称，则．
（2）当时，点、不关于原点对称，则，
由，得      即
点在椭圆上，有，
将①、②两式，得．
，，则且．
综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． ………………9分
【注】 此题可根据图形得出当时，当、两点重合时．
如果学生由此得出的取值范围是可酌情给分．
（Ⅲ），点到直线的距离，
的面积
．          ………………………… 10分
由①有，代入上式并化简，得．
，．                   ……………………… 11分
当且仅当，即时，等号成立．
当时，的面积最大，最大值为． ……………………… 12分