题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)证明:当时,函数
有最小值,设
最小值为
,求函数
的值域.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)原问题等价于对
恒成立,设
,求其最小值即可;
(2)求导得,记
,
,由(1)知
在区间
内单调递增,从而得到当
时,函数
有最小值;
,又因为
.所以
,从而易得函数
的值域.
详解:(1)因为对
恒成立,
等价于对
恒成立,设
得
,故
在
上单调递增,
当时,由上知
,所以
,即
,
所以实数的取值范围为
;
(2)对求导得
,
记,
,
由(1)知在区间
内单调递增,又
,
所以存在唯一正实数,使得
,
当
时,
,
,函数
在区间
单调递减;
时,
,
,函数
在区间
单调递增;
所以在
内有最小值
,
由题设即.
又因为.所以
.
根据(1)知, 在
内单调递增,
,
所以.令
,则
,函数
在区间
内单调递增,
所以,
即函数的值域为
.
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