题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,,
,矩形ABEF可沿AB任意翻折.
(1)求证:当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面ADF.
(2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总与线段FD平行”这个结论正确吗?如果正确,请证明;如果不正确,请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立,并给出理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)这个结论不正确.要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点,理由见解析
【解析】
(1)在平面图形中,连接MN与AB交于点G,在平面图形中可证,当点F,A,D不共线时,
,
,可证
平面ADF,
平面ADF,从而有平面
平面ADF,即可证明结论;
(2)这个结论不正确.要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.
当点F,A,D共线时,由(1)得;当点F,A,D不共线时,平面
平面FDA,则要使
,满足FD与AN共面,只要FM与DN相交即可,可证交点只能为点B,得出只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.
(1)证明:在平面图形中,连接MN,与AB交于点G.
∵四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形,,
∴且
,
∴四边形ADBE是平行四边形,∴.
又,∴四边形ADNM是平行四边形,∴
.
当点F,A,D不共线时,如图,,
,
平面
,
平面
,所以
平面ADF,
同理平面ADF,又
,
平面
,∴平面
平面ADF.
又平面GNM,∴
平面ADF.
故当点F,A,D不共线时,线段MN总平行于平面FA D.
(2)解:这个结论不正确.
要使上述结论成立,M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下:
当点F,A,D共线时,由(1)得.
当点F,A,D不共线时,如图,
由(1)知平面平面FDA,则要使
总成立,
根据面面平行的性质定理,只要FD与共面即可.
若要使FD与共面,连接FM,只要FM与DN相交即可,
∵平面ABEF,
平面ABCD,
平面平面
,
∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,
由于四边形为平行四边形,
与
的交点
为
的中点,
则只有M,N分别为AE,DB的中点才满足.
由,
可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面.
∵平面平面
,
平面平面
,
平面平面FDA,∴
.
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