题目内容
【题目】若函数满足对任意
,都有
成立,则实数
的取值范围是______.
【答案】
【解析】
根据题中条件,可以先判断出函数f(x)在R上单调递增,再结合分段函数的解析式,要每一段都是增函数,且分界点时右段函数的函数值要大于等于左段函数的函数值,列出不等关系,求解即可得到a的取值范围.
:∵对任意x1≠x2,都有成立,
∴x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,
根据函数单调性的定义,可知f(x)在R上是单调递增函数,
∴当时,f(x)=(
为增函数,则
,即a<3,①
且当x=2时,有最小值 ;
当时,f(x)=
为二次函数,图象开口向下,对称轴为x=2,
若f(x)在(-∞,2)上为增函数,且 ;
又由题意,函数在定义域R上单调递增,
则,解得
;②
综合①②可得a的取值范围: ,
即答案为.
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