Question

14．已知0＜x＜1，则$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$的最小值为9．

Answer 1

分析 根据y=$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$=（$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$）[x+（1-x）]=1+4+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{4x}{1-x}$，再利用基本不等式求得它的最小值．

解答 解：∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1，
则y=$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$=（$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$）[x+（1-x）]=1+4+$\frac{1-x}{x}$+$\frac{4x}{1-x}$≥5+2$\sqrt{\frac{1-x}{x}•\frac{4x}{1-x}}$=9，
当且仅当$\frac{1-x}{x}$=$\frac{4x}{1-x}$，即x=$\frac{1}{3}$时，取等号，
故y=$\frac{1}{x}+\frac{4}{1-x}$ 的最小值为9，
故答案为：9．

点评 本题主要考查了利用基本不等式求解函数的最值，解题的关键是灵活利用x+（1-x）=1的条件，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．