题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点分别是
,点
在椭圆
上,
是等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)点在椭圆
上,线段
与线段
交于点
,若
与
的面积之比为
,求点
的坐标.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆短轴上的顶点得
,由
是正三角形得
即
,从而求得方程;
(Ⅱ)设,
,因为
,所以
,且
,从而得即
,代入椭圆方程得
,将
代入直线
的方程得到
,即可得解.
试题解析:
解:(Ⅰ)由题意是椭圆
短轴上的顶点,所以
,
因为是正三角形,
所以,即
.
由,所以
.
所以椭圆的标准方程是
.
(Ⅱ)设,
,依题意有
,
,
,
.
因为,所以
,且
,
所以,
,即
.
因为点在椭圆上,所以
,即
.
所以,解得
,或
.
因为线段与线段
交于点
,
所以,所以
.
因为直线的方程为
,
将代入直线
的方程得到
.
所以点的坐标为
.
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