题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,侧棱
底面
,
分别是
的中点,
,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在一点
,使得平面
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)(Ⅲ)在
存在一点
,使得平面
平面
,且
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据中位线定理得,
,所以
为平行四边形,进而可证
平面
;
(Ⅱ)建立直角坐标系,
,求解平面
的法向量为
,设
与平面
所成角为
,利用
求解即可;
(Ⅲ)设上存在一点
,则
,令
,求解即可.
试题解析:
(Ⅰ)证明:取中点
,连接
.
因为分别是
的中点,
所以,且
.
因为是矩形,
是
中点,
所以,
.
所以为平行四边形.
所以.
又因为平面
,
平面
,
所以平面
.
(Ⅱ)因为平面
,
所以,
.
因为四边形是矩形,所以
.
如图建立直角坐标系,
所以,
,
,
所以,
.
设平面的法向量为
,
因为,所以
.
令,所以
,所以
.
又因为,
设与平面
所成角为
,
所以
.
所以与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)因为侧棱底面
,
所以只要在上找到一点
,使得
,
即可证明平面平面
.
设上存在一点
,则
,
所以.
因为,
所以令,即
,所以
.
所以在存在一点
,使得平面
平面
,且
.
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