题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,且椭圆
过点
,直线
过椭圆
的右焦点
且与椭圆
交于
两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,求证:若圆
与直线
相切,则圆
与直线
也相切.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)利用条件布列的方程组,即可得到椭圆
的标准方程;(2)对直线l的斜率分类讨论,若圆
与直线
相切,则圆
与直线
也相切等价于
,联立方程,借助根与系数关系证明等式即可.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆C的焦距为2c(c>0),依题意,
解得,c=1,故椭圆C的标准方程为
;
(Ⅱ)证明:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,M,N两点关于x轴对称,点P(4,0)在x轴上,所以直线PM与直线PN关于x轴对称,所以点O到直线PM与直线PN的距离相等,故若圆
与直线PM相切,则也会与直线PN相切;
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,
,
,
由得:
所以,
,
,
,
,
所以, ,于是点O到直线PM与直线的距离PN相等,
故若圆与直线PM相切,则也会与直线PN相切;
综上所述,若圆与直线PM相切,则圆
与直线PN也相切.
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