题目内容
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数,
是大于0的常数).以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆
的极坐标方程为
.
(1)求圆的极坐标方程和圆
的直角坐标方程;
(2)分别记直线:
,
与圆
、圆
的异于原点的焦点为
,
,若圆
与圆
外切,试求实数
的值及线段
的长.
【答案】(1) ,
(2)
,
【解析】试题分析:(1)先将圆的参数方程化为直角坐标方程,再利用
可得圆
的极坐标方程,两边同乘以
利用互化公式 即可得圆
的直角坐标方程;(2)由(1)知圆
的圆心
,半径
;圆
的圆心
,半径
,
圆
与圆
外切的性质列方程解得
,分别将
代入
、
的极坐标方程,利用极径的几何意义可得线段
的长.
试题解析:(1)圆:
(
是参数)消去参数
,
得其普通方程为,
将,
代入上式并化简,
得圆的极坐标方程
,
由圆的极坐标方程
,得
.
将,
,
代入上式,
得圆的直角坐标方程为
.
(2)由(1)知圆的圆心
,半径
;圆
的圆心
,半径
,
,
∵圆与圆
外切,
∴,解得
,
即圆的极坐标方程为
.
将代入
,得
,得
;
将代入
,得
,得
;
故.
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