Question

【题目】数列{an}的前n项和Sn满足：2Sn=3an﹣6n（n∈N*） （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设 ，其中常数λ＞0，若数列{bn}为递增数列，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）∵2Sn=3an﹣6n（n∈N*），∴n=1时，2a1=3a1﹣6，解得a1=6． 当n≥2时，2an=2（Sn﹣Sn﹣1）=3an﹣6n﹣[3an﹣1﹣6（n﹣1）]，化为：an+3=3（an﹣1+3）．
∴数列{an+3}是等比数列，首项为9，公比为3．
∴an+3=9×3n﹣1 ，
∴an=3n+1﹣3．
（II） = ，其中常数λ＞0，
∵数列{bn}为递增数列，
∴bn+1＞bn ，
∴ ＞ ，
化为：λ＜ =3+ ．
∵数列 单调递减，
∴0＜λ≤3．
∴λ的取值范围是（0，3]
【解析】（I）由2Sn=3an﹣6n（n∈N*），利用递推关系化为：an+3=3（an﹣1+3），利用等比数列的通项公式即可得出．（II） = ，其中常数λ＞0，利用数列{bn}为递增数列，可得bn+1＞bn ， 化简即可得出．
【考点精析】利用数列的通项公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．