题目内容
【题目】已知函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）若曲线
与
有三个不同的交点，求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 单调递增区间为
，单调递减区间为
；(Ⅱ) 
.
【解析】试题分析：(Ⅰ)先对函数求导得
，然后求出导函数的零点，讨论零点所分区间上导函数的正负，以此来判断函数的单调性，导数为正的区间是对应函数的递增区间，导数为负的区间是对应函数的递减区间；(Ⅱ)先化简
得到
，然后构造函数
，将问题转化为“函数
与
有三个公共点”.由数形结合的思想可知，当
在函数
的两个极值点对应的函数值之间时，函数
与
有三个公共点，那么只要利用函数
的导数找到此函数的两个极值即可.
试题解析：(Ⅰ) 
2分
令
，解得
或
. 4分
当
时， 
；当
时， 
∴
的单调递增区间为
，单调递减区间为
6分
（Ⅱ）令
，即
∴
设
，即考察函数
与
何时有三个公共点 8分
令
，解得
或
.
当
时， 
当
时， 
∴
在
单调递增，在
单调递减 9分
10分
根据图象可得
. 12分
【题目】随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄（单位：岁） | [15,25） | [25,35） | [35,45） | [45,55） | [55,65） | [65,75） |
频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面
列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（Ⅱ）若从年龄在[25,35）和[55,65）的被调查人中按照分层抽样的方法选取6人进行追踪调查，并给予其中3人“红包”奖励，求3人中至少有1人年龄在[55,65）的概率.
参考数据如下：
附临界值表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
的观测值： 
（其中
）
