Question

设f（x）是定义在[a，b]上的函数，用分点T：a=x₀＜x₁＜…＜x_i-1＜x_i＜…＜x_n=b，将区间[a，b]任意划分成n个小区间，若存在常数M，使

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，则称f（x）为[a，b]上的有界变差函数．
（1）判断函数f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否为有界变差函数，并说明理由；
（2）定义在[a，b]上的单调函数f（x）是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（3）若定义在[a，b]上的函数f（x）满足：存在常数k，使得对于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|．证明：f（x）为[a，b]上的有界变差函数．

Answer 1

分析：（1）求导可发现f（x）在[-π，π]上是增函数，利用函数在[-π，π]上是增函数，去掉绝对值，将连和符号用函数值的和表示出，求出值为，取M大于等于此值，让其满足有界变差函数的定义；
（2）利用函数为减函数，将连和符号中的绝对值符号去掉，将连和用函数值的差表示出，求出连和的值，将M取此值，满足有界变差函数的定义．
（3）利用已知不等式，将函数值差的连和表示成自变量差的连和，去掉绝对值，将连和写成自变量差的和形式，求出连和的值，找到M，满足有界变差的定义；

解答：解：（1）可得f′（x）=1-sinx≥0，x∈[-π，π]，
所以f（x）=x+cosx为区间[-π，π]上的单调增函数，
故当x_i-1＜x_i时，总有f（x_i-1）＜f（x_i），
此时，

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|=

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）]=f（x_n）-f（x₀）=f（π）-f（-π）=2π．
所以函数f（x）=x+cosx在[-π，π]上为有界变差函数；        …（5分）
（2）因为函数f（x）为区间[-π，π]上的单调函数，
所以当x_i-1＜x_i时，总有f（x_i-1）＜f（x_i）（或f（x_i-1）＞f（x_i）），…（7分）
故

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|=|

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）]|=|f（x_n）-f（x₀）|=|f（b）-f（a）|．
故存在常数M=|f（b）-f（a）|，使得

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以定义在[a，b]上的单调函数f（x）为有界变差函数；        …（10分）
（3）因为存在常数k，使得对于任意的x₁，x₂∈[a，b]，|f（x₁）-f（x₂）|≤k|x₁-x₂|．
所以

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤

n

i=1

|x_i-x_i-1|=k（b-a）．                 …（14分）
故存在常数M=k（b-a），使得

n

i=1

f（x_i）-f（x_i-1）|≤M恒成立，
所以f（x）为[a，b]上的有界变差函数．                      …（16分）

点评：本题以新定义函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，有一定的难度，判断一个函数是否是有界变差函数，关键是求出函数差的连和，找出M．