题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方),连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设
=λ
.
(1)若点P的坐标为(1,),且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程;
(2)若PF2垂直于x轴,且椭圆C的离心率e∈[,
],求实数λ的取值范围.
【答案】(1)+
=1;(2)[
,5]
【解析】
试题分析:(1)求椭圆标准方程,实质就是要求的值,为此要找两个关于
的方程,本题由已知,把
点坐标代入可得一个方程,由椭圆定义知
的周长是
,又可得
值,从而得解;(2)本小题关键是建立起
与离心率
的关系,利用
两点在椭圆上,由
轴可求得
,由
=λ
,可求得
点坐标,把
点坐标代入椭圆方程,再转化后可得
的关系(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,因为λ+1≠0,故有λ=
,从而可得
的范围.
试题解析:(1)因为F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点,
所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2的周长为4a.
由题意,得4a=8,解得a=2.
因为点P的坐标为(1,),所以
,
解得b2=3.
所以椭圆C的方程为.
(2)方法一:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.设Q(x1,y1).
因为P在椭圆上,所以,解得y0=
,即P(c,
).
因为F1(-c,0),所以=(-2c,-
),
=(x1+c,y1).
由=λ
,得-2c=λ(x1+c),-
=λy1,
解得x1=,y1=-
,所以Q(-
c,-
).
因为点Q在椭圆上,所以()2e2+
=1,
即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1,
因为λ+1≠0,
所以(λ+3)e2=λ-1,从而λ=.
因为e∈[,
],所以
≤e2≤
,即
≤λ≤5.
所以λ的取值范围为[,5].
方法二:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.
因为P在椭圆上,所以,解得y0=
,即P(c,
).
因为F1(-c,0),故直线PF1的方程为.
由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0.
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c,).设Q(x1,y1),
则x1+c,即-c-x1=
.
因为,
所以λ==
.
因为e∈[,
],所以
≤e2≤
,即
≤λ≤5.
所以λ的取值范围为[,5].
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着网络时代的进步,流量成为手机的附带品,人们可以利用手机随时随地的浏览网页,聊天,看视频,因此,社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18∽50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查,所得结果统计如下图所示:
(Ⅰ)以频率估计概率,若在该地区任取3位居民,其中恰有位居民的月流量的使用情况
在300M∽400M之间,求的期望
;
(Ⅱ)求被抽查的居民使用流量的平均值;
(Ⅲ)经过数据分析,在一定的范围内,流量套餐的打折情况与其日销售份数
成线性相关
关系,该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数
的结果统计如下表所示:
折扣 | 1折 | 2折 | 3折 | 4折 | 5折 |
销售份数 | 50 | 85 | 115 | 140 | 160 |
试建立关于
的的回归方程.
附注:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,