题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，底面是等腰直角三角形， 
，侧棱
，点
分别为棱
的中点， 
的重心为
，直线
垂直于平面
.
（1）求证：直线
平面
；
（2）求二面角
的余弦.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）证线面平行，直接找线线平行即可，构造平行四边形
，证明
平行于DE，即可得到线线平行，进而得到线面平行。（2）建系，分别求出两个半平面的法向量，根据公式得到法向量的夹角，从而得到二面角的大小。
(1) 连结 
，则在三角形
中
为中位线，于是
， 
因为
为
中点，所以
平行且等于
. 所以在平行四边形
中， 
平行于
因为
在平面 
上，所以
平行于平面
（2）分别以
为
轴建立空间直角坐标系
设
，则
因为
垂直于平面
，所以有
，
解得
，所以
面
的法向量
，面
的法向量为
所以
结合图形知，二面角
的预先为
.
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