题目内容
【题目】如图,在直角坐标系中,椭圆
:
的上焦点为
,椭圆
的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过椭圆的上顶点
的直线
与椭圆
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线
的方程.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率为
得
,把点
代人椭圆方程,结合
,可求得
的值,从而可得椭圆方程;(2)直线
的方程为
,
由得
,根据韦达定理及斜率公式,结合题设
,且
,可得
,求得
的值即可得结果.
试题解析:(1)因为椭圆的离心率为
,所以
,即
.
又,得
,即
,所以椭圆
的方程为
.
把点代人
中,解得
.
所以椭圆的方程为
.
(2)解法1:设直线的斜率为
,则直线
的方程为
,
由得
.
设,
,则有
,
,
所以.
所以
因为,所以
在线段
的中垂线上,
所以,因为
,所以
,即
.
设,又直线
垂直
,所以
,即
.
所以,即
.
又,所以
,
.
因为,所以
,
解得.
所以直线的方程为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式,属于难题. 利用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在轴上,还是在
轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程
或
;③找关系:根据已知条件,建立关于
、
、
的方程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求.
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