题目内容
【题目】如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1.
(Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF;
(Ⅱ)当AD=1时,求直线FB与平面DFC所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)证明BF⊥平面ADF即可.
(Ⅱ) 以F为原点建立空间直角坐标系,再根据空间向量的方法求解直线FB与平面DFC所成角的正弦值即可.
(Ⅰ)证明:∵AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,∴AF⊥BF,
∵矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直,
∴AD⊥AB,∴AD⊥平面ABEF,∴AD⊥BF,
∵AD∩AF=A,∴BF⊥平面ADF,
∵BF平面CBF,∴平面DAF⊥平面CBF.
(Ⅱ)解:连结FO,∵AB=2,EF=1,AB∥EF,
∴当AD=1时,四边形EFOB是菱形,
以F为原点,FB为x轴,FA为y轴,过F作平面ABEF的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,
F(0,0,0),B(,0,0),C(,0,1),D(0,1,1),
(,0,0),(,0,1),(0,1,1),
设平面DFC的法向量(x,y,z),
则,取x=1,得(1,,),
设直线FB与平面DFC所成角为θ,
则sinθ.
∴直线FB与平面DFC所成角的正弦值为.
【题目】为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机调查了50人,他们年龄大点频率分布及支持“生育二胎”人数如下表:
年龄 | ||||||
频率 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
支持“生育二胎” | 4 | 5 | 12 | 8 | 2 | 1 |
(1)由以上统计数据填下面2乘2列联表,并问是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异:
(2)若对年龄在的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少?
参考数据: , , .