题目内容

【题目】已知正三角形 的边长为3， 分别是边上的点，满足 (如图1)．将折起到的位置，使平面平面，连接(如图2)．

(1)求证：平面 ；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）在图中，取的中点，连接，证明是等边三角形，由此证得，即在图中有，根据面面垂直的性质定理可证得平面.（2）以为原点，以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和的法向量，计算二面角的余弦值.

解：（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．

∵，

∴.

而，∴是正三角形．

又，∴

即在图2中，，

∵平面平面，平面平面，

平面.

（2）由（1）知，即平面，．

以E为原点，以向量的方向为轴的正方向建立如图所示的坐标系，

则.

.

设分别是平面和平面的法向量，

由，得，

取，得，

由，得，

取，得，

所以.

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

练习册系列答案
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