题目内容
【题目】已知椭圆:
(
)过点
,且椭圆
的离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线
上,过
作直线交椭圆
于
两点,且
为线段
中点,再过
作直线
.求直线
是否恒过定点,如果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
【答案】(1);(2)直线
恒过定点
.
【解析】试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用点在椭圆上和离心率得到方程组,解出a和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论,(ⅰ)若存在点P在MN上,设出直线MN的方程,由于直线MN与椭圆相交,所以两方程联立,得到两根之和,结合中点坐标公式,得到直线MN的斜率,由于直线MN与直线垂直,从而得到直线
的斜率,因为直线
也过点P,写出直线
的方程,经过整理,即可求出定点,(ⅱ)若直线MN的斜率不存在,则直线MN即为
,而直线
为x轴,经验证直线
,也过上述定点,所以综上所述,有定点.
(1)因为点在椭圆
上,所以
, 所以
, 1分
因为椭圆的离心率为
,所以
,即
, 2分
解得, 所以椭圆
的方程为
. 4分
(2)设,
,
①当直线的斜率存在时,设直线
的方程为
,
,
,
由得
,
所以, 因为
为
中点,所以
,即
.
所以, 8分
因为直线,所以
,所以直线
的方程为
,
即,显然直线
恒过定点
. 10分
②当直线的斜率不存在时,直线
的方程为
,此时直线
为
轴,也过点
.
综上所述直线恒过定点
. 12分
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