题目内容
【题目】如图,已知椭圆:
的离心率为
,
为椭圆
的右焦点,
,
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为原点,
为椭圆上一点,
的中点为
,直线
与直线
交于点
,过
作
,交直线
于点
,求证:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题中条件要得两个等式,再由椭圆中的等式关系可得
的值,求得椭圆的方程;
(2)可设直线的方程,联立椭圆方程,由根与系数的关系得
,所以直线
的方程是
.令
,得
, 得直线
的斜率是
,问题得解.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为
.依题意,得
,
.
解得 ,
.所以
,所以椭圆
的方程是
.
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)得 .设
的中点
,
.
设直线的方程为:
,将其代入椭圆方程,整理得
,所以
.所以
,
,
即 .所以直线
的斜率是
,
所以直线的方程是
.令
,得
.
由,得直线
的斜率是
,
因为,所以直线
的斜率为
,所以直线
.
解法二:由(Ⅰ)得 .设
,其中
.
因为的中点为
,所以
.所以直线
的斜率是
,所以直线
的方程是
.令
,得
.
由,得直线
的斜率是
.因为直线
的斜率是
,所以
,所以
.因为
,所以
.
点晴:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系. 直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想,另一方面要结合已知条件,从图形角度求解.联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长;涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】媒体为调查喜欢娱乐节目是否与性格外向有关,随机抽取了400名性格外向的和400名性格内向的居民,抽查结果用等高条形图表示如下图:
(1)填写完整如下列联表;
(2)根据列联表的独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢娱乐节目与性格外向有关?
参考数据及公式:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
【题目】为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他前次考试的数学成绩
、物理成绩进行分析.下面是该生
次考试的成绩.
数学 | 108 | 103 | 137 | 112 | 128 | 120 | 132 |
物理 | 74 | 71 | 88 | 76 | 84 | 81 | 86 |
(Ⅰ)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的说明;
(Ⅱ)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,求物理成绩
与数学成绩的回归直线方程
(Ⅲ)若该生的物理成绩达到90分,请你估计他的数学成绩大约是多少?
(附: )